初中二次函数知识点总结

1.初中九年级二次函数知识点总结

二次函数 I.定义与定义表达式 一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系: y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.) 则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 II.二次函数的三种表达式 一般式:y=ax^2;+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 顶点式:y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P(h,k)] 交点式:y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1,0)和 B(x2,0)的抛物线] 注:在3种形式的互相转化中,有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a III.二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像, 可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0) 2.抛物线有一个顶点P,坐标为 P [ -b/2a ,(4ac-b^2;)/4a ]。

当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时,P在x轴上。 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时,抛物线向上开口;当a|a|越大,则抛物线的开口越小。 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于(0,c) 6.抛物线与x轴交点个数 Δ= b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。 Δ= b^2-4acV.二次函数与一元二次方程 特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2;+bx+c, 当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程), 即ax^2;+bx+c=0 此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 答案补充 画抛物线y=ax2时,应先列表,再描点,最后连线。

列表选取自变量x值时常以0为中心,选取便于计算、描点的整数值,描点连线时一定要用光滑曲线连接,并注意变化趋势。 二次函数解析式的几种形式 (1)一般式:y=ax2+bx+c (a,b,c为常数,a≠0). (2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数,a≠0). (3)两根式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标,即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根,a≠0. 说明:(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k,抛物线的顶点坐标是(h,k),h=0时,抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时,抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时,抛物线y=ax2的顶点在原点 答案补充 如果图像经过原点,并且对称轴是y轴,则设y=ax^2;如果对称轴是y轴,但不过原点,则设y=ax^2+k定义与定义表达式 一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系: y=ax^2+bx+c (a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下。

IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。) 则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 x是自变量,y是x的函数 二次函数的三种表达式 ①一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) ②顶点式[抛物线的顶点 P(h,k) ]:y=a(x-h)^2+k ③交点式[仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]:y=a(x-x1)(x-x2) 以上3种形式可进行如下转化: ①一般式和顶点式的关系 对于二次函数y=ax^2+bx+c,其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a),即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b^2)/4a ②一般式和交点式的关系 x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)。

2.初三二次函数有关知识点讲解

看完这些总结,自己再试试看,不要害怕不会做这些题,越害怕越做不出来!自己试试看,就会发现,其实,并不难……一、(1)一般式:y=ax^2+bx+c(a≠0) 对称轴:x=-b/2a(*注意:对称轴是一条直线!!!) 顶点: (-b/2a,(4ac-b^2)/4a) (2)顶点式:y=a(x-m)^2+n (a≠0) 对称轴:x=m 顶点: (m,n) (3)交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)二、图像-抛物线1、开口方向:a>0,开口向上 a<0,开口向下开口大小:a 的绝对值越大,开口越小2、对称轴:x=-b/2a3、f(0)=c 4、交点间距离:(x1-x2)的绝对值=√△/a的绝对值*不论学什么,一般式都是通式,对某些题而言,虽然一般式解题较麻烦,但在考试中,如果不会,就用一般式写,尽量把能写出来的都写出来,数学给的是过程分,另外,二次函数的学习,要综合二次函数、一元二次不等式、一元二次方程,刚开始学习,要背一些必要地公式:顶点、对称轴,不要着急,祝你学习成功!O(∩_∩)O~。

3.【初三二次函数主要知识点】

初三数学 二次函数 知识点总结一、二次函数概念:1.二次函数的概念:一般地,形如(是常数,)的函数,叫做二次函数. 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数,而可以为零.二次函数的定义域是全体实数.2. 二次函数的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量的二次式,的最高次数是2. ⑵ 是常数,是二次项系数,是一次项系数,是常数项.二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式:的性质:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小. 的符号\x09开口方向\x09顶点坐标\x09对称轴\x09性质\x09向上\x09\x09轴\x09时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.\x09向下\x09\x09轴\x09时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.2. 的性质:上加下减.的符号\x09开口方向\x09顶点坐标\x09对称轴\x09性质\x09向上\x09\x09轴\x09时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.\x09向下\x09\x09轴\x09时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.3. 的性质: 左加右减.的符号\x09开口方向\x09顶点坐标\x09对称轴\x09性质\x09向上\x09\x09X=h\x09时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.\x09向下\x09\x09X=h\x09时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.4. 的性质:的符号\x09开口方向\x09顶点坐标\x09对称轴\x09性质\x09向上\x09\x09X=h\x09时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.\x09向下\x09\x09X=h\x09时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标; ⑵ 保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下: 2. 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移,负左移;值正上移,负下移”.概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二:⑴沿轴平移:向上(下)平移个单位,变成(或)⑵沿轴平移:向左(右)平移个单位,变成(或)四、二次函数与的比较 从解析式上看,与是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即,其中.五、二次函数图象的画法五点绘图法:利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点,(若与轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与轴的交点,与轴的交点. 六、二次函数的性质 1. 当时,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为.当时,随的增大而减小;当时,随的增大而增大;当时,有最小值. 2. 当时,抛物线开口向下,对称轴为,顶点坐标为.当时,随的增大而增大;当时,随的增大而减小;当时,有最大值.七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式:(,为常数,); 2. 顶点式:(,为常数,); 3. 两根式:(,是抛物线与轴两交点的横坐标).注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点,即时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 二次函数中,作为二次项系数,显然. ⑴ 当时,抛物线开口向上,的值越大,开口越小,反之的值越小,开口越大; ⑵ 当时,抛物线开口向下,的值越小,开口越小,反之的值越大,开口越大. 总结起来,决定了抛物线开口的大小和方向,的正负决定开口方向,的大小决定开口的大小. 2. 一次项系数 在二次项系数确定的前提下,决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在的前提下, 当时,即抛物线的对称轴在轴左侧; 当时,即抛物线的对称轴就是轴; 当时,即抛物线对称轴在轴的右侧. ⑵ 在的前提下,结论刚好与上述相反,即 当时,即抛物线的对称轴在轴右侧; 当时,即抛物线的对称轴就是轴; 当时,即抛物线对称轴在轴的左侧. 总结起来,在确定的前提下,决定了抛物线对称轴的位置. 的符号的判定:对称轴在轴左边则,在轴的右侧则,概括的说就是“左同右异”总结: 3. 常数项 ⑴ 当时,抛物线与轴的交点在轴上方,即抛物线与轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当时,抛物线与轴的交点为坐标原点,即抛物线与轴交点的纵坐标为; ⑶ 当时,抛物线与轴的交点在轴下方,即抛物线与轴交点的纵坐标为负. 总结起来,决定了抛物线与轴交点的位置. 总之,只要都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定: 根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况: 1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式; 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式; 3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式; 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式. 九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点。

4.谁知道九年级二次函数的所有知识点

初三数学 二次函数 知识点总结一、二次函数概念:1.二次函数的概念:一般地,形如 ( 是常数, )的函数,叫做二次函数。

这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数 ,而 可以为零.二次函数的定义域是全体实数.2. 二次函数 的结构特征:⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量 的二次式, 的最高次数是2.⑵ 是常数, 是二次项系数, 是一次项系数, 是常数项.二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式: 的性质:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时, 随 的增大而增大; 时, 随 的增大而减小; 时, 有最小值 .向下轴时, 随 的增大而减小; 时, 随 的增大而增大; 时, 有最大值 .2. 的性质:上加下减。

的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时, 随 的增大而增大; 时, 随 的增大而减小; 时, 有最小值 .向下轴时, 随 的增大而减小; 时, 随 的增大而增大; 时, 有最大值 .3. 的性质:左加右减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时, 随 的增大而增大; 时, 随 的增大而减小; 时, 有最小值 .向下X=h时, 随 的增大而减小; 时, 随 的增大而增大; 时, 有最大值 .4. 的性质:的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时, 随 的增大而增大; 时, 随 的增大而减小; 时, 有最小值 .向下X=h时, 随 的增大而减小; 时, 随 的增大而增大; 时, 有最大值 .三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤:方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ,确定其顶点坐标 ;⑵ 保持抛物线 的形状不变,将其顶点平移到 处,具体平移方法如下: 2. 平移规律 在原有函数的基础上“ 值正右移,负左移; 值正上移,负下移”.概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二:⑴ 沿 轴平移:向上(下)平移 个单位, 变成(或 )⑵ 沿轴平移:向左(右)平移 个单位, 变成 (或 )四、二次函数 与 的比较从解析式上看, 与 是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即 ,其中 .五、二次函数 图象的画法五点绘图法:利用配方法将二次函数 化为顶点式 ,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与 轴的交点 、以及 关于对称轴对称的点 、与 轴的交点 , (若与 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与 轴的交点,与 轴的交点.六、二次函数 的性质 1. 当 时,抛物线开口向上,对称轴为 ,顶点坐标为 .当 时, 随 的增大而减小;当 时, 随 的增大而增大;当 时, 有最小值 . 2. 当 时,抛物线开口向下,对称轴为 ,顶点坐标为 .当 时, 随 的增大而增大;当 时, 随 的增大而减小;当 时, 有最大值 .七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式: ( , , 为常数, );2. 顶点式: ( , , 为常数, );3. 两根式: ( , , 是抛物线与 轴两交点的横坐标).注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与 轴有交点,即 时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 二次函数 中, 作为二次项系数,显然 . ⑴ 当 时,抛物线开口向上, 的值越大,开口越小,反之 的值越小,开口越大; ⑵ 当 时,抛物线开口向下, 的值越小,开口越小,反之 的值越大,开口越大.总结起来, 决定了抛物线开口的大小和方向, 的正负决定开口方向, 的大小决定开口的大小.2. 一次项系数 在二次项系数 确定的前提下, 决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在 的前提下,当 时, ,即抛物线的对称轴在 轴左侧;当 时, ,即抛物线的对称轴就是 轴;当 时, ,即抛物线对称轴在 轴的右侧.⑵ 在 的前提下,结论刚好与上述相反,即当 时, ,即抛物线的对称轴在 轴右侧;当 时, ,即抛物线的对称轴就是 轴;当 时, ,即抛物线对称轴在 轴的左侧.总结起来,在 确定的前提下, 决定了抛物线对称轴的位置.的符号的判定:对称轴 在 轴左边则 ,在 轴的右侧则 ,概括的说就是“左同右异”总结: 3. 常数项 ⑴ 当 时,抛物线与 轴的交点在 轴上方,即抛物线与 轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当 时,抛物线与 轴的交点为坐标原点,即抛物线与 轴交点的纵坐标为 ; ⑶ 当 时,抛物线与 轴的交点在 轴下方,即抛物线与 轴交点的纵坐标为负. 总结起来, 决定了抛物线与 轴交点的位置. 总之,只要 都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定:根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;3. 已知抛物线与 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于 轴对称 关于 轴对称后,得到的解析式是 。

5.初中九年级二次函数知识点总结

二次函数 I.定义与定义表达式 一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系: y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.) 则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 II.二次函数的三种表达式 一般式:y=ax^2;+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 顶点式:y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P(h,k)] 交点式:y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1,0)和 B(x2,0)的抛物线] 注:在3种形式的互相转化中,有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a III.二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像, 可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0) 2.抛物线有一个顶点P,坐标为 P [ -b/2a ,(4ac-b^2;)/4a ]。

当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时,P在x轴上。 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时,抛物线向上开口;当a|a|越大,则抛物线的开口越小。 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于(0,c) 6.抛物线与x轴交点个数 Δ= b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。 Δ= b^2-4acV.二次函数与一元二次方程 特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2;+bx+c, 当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程), 即ax^2;+bx+c=0 此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 答案补充 画抛物线y=ax2时,应先列表,再描点,最后连线。

列表选取自变量x值时常以0为中心,选取便于计算、描点的整数值,描点连线时一定要用光滑曲线连接,并注意变化趋势。 二次函数解析式的几种形式 (1)一般式:y=ax2+bx+c (a,b,c为常数,a≠0). (2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数,a≠0). (3)两根式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标,即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根,a≠0. 说明:(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k,抛物线的顶点坐标是(h,k),h=0时,抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时,抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时,抛物线y=ax2的顶点在原点 答案补充 如果图像经过原点,并且对称轴是y轴,则设y=ax^2;如果对称轴是y轴,但不过原点,则设y=ax^2+k 定义与定义表达式 一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系: y=ax^2+bx+c (a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下。

IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。) 则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 x是自变量,y是x的函数 二次函数的三种表达式 ①一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) ②顶点式[抛物线的顶点 P(h,k) ]:y=a(x-h)^2+k ③交点式[仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]:y=a(x-x1)(x-x2) 以上3种形式可进行如下转化: ①一般式和顶点式的关系 对于二次函数y=ax^2+bx+c,其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a),即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b^2)/4a ②一般式和交点式的关系 x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)。

初中二次函数知识点总结

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八年级初中英语所有必考知识点总结

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电工电子基础实验知识点总结

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初三旋转的知识点总结

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相似三角形的应用的知识点总结

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八年级初二上册化学知识点总结

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中国的政治知识点总结

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初二语文上苏教版英语知识点总结

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六年级历史上鲁教版知识点总结

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本文主要为您介绍六年级历史上鲁教版知识点总结,内容包括鲁教版历史提纲,六年级历史上册复习提纲,初中历史六年级复习提纲。六年级应该没有学习历史吧!初一的有人教版七年级(上册)历史复习提纲 第一课 祖国境内的远古居民 文化代表 距今时间

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初二第13章知识点总结

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