初中二次函数知识点总结

1.初中九年级二次函数知识点总结

二次函数 I.定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.) 则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 II.二次函数的三种表达式 一般式：y=ax^2;+bx+c(a,b,c为常数，a≠0) 顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P(h,k)] 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1,0)和 B(x2,0)的抛物线] 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系： h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a III.二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像， 可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0） 2.抛物线有一个顶点P，坐标为 P [ -b/2a ,(4ac-b^2;)/4a ]。

当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时，抛物线向上开口；当a|a|越大，则抛物线的开口越小。 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于（0,c） 6.抛物线与x轴交点个数 Δ= b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 Δ= b^2-4acV.二次函数与一元二次方程 特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2;+bx+c， 当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）， 即ax^2;+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 答案补充 画抛物线y=ax2时，应先列表，再描点，最后连线。

列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。 二次函数解析式的几种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0). (2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0). (3)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a≠0. 说明：（1）任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是（h,k）,h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上；当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点 答案补充 如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax^2；如果对称轴是y轴，但不过原点，则设y=ax^2+k定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax^2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。

IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大。) 则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 x是自变量，y是x的函数 二次函数的三种表达式 ①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0) ②顶点式[抛物线的顶点 P(h,k) ]:y=a(x-h)^2+k ③交点式[仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2) 以上3种形式可进行如下转化： ①一般式和顶点式的关系 对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为（-b/2a,(4ac-b^2)/4a），即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b^2)/4a ②一般式和交点式的关系 x1,x2=[-b±√（b^2-4ac）]/2a（即一元二次方程求根公式）。

2.初三二次函数有关知识点讲解

看完这些总结，自己再试试看，不要害怕不会做这些题，越害怕越做不出来！自己试试看，就会发现，其实，并不难……一、（1）一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0) 对称轴：x=-b/2a（*注意：对称轴是一条直线！！！） 顶点： （-b/2a,(4ac-b^2)/4a) (2)顶点式：y=a(x-m)^2+n (a≠0) 对称轴：x=m 顶点： （m,n） (3)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)二、图像-抛物线1、开口方向：a>0，开口向上 a<0，开口向下开口大小：a 的绝对值越大，开口越小2、对称轴：x=-b/2a3、f(0)=c 4、交点间距离：（x1-x2）的绝对值=√△/a的绝对值*不论学什么，一般式都是通式，对某些题而言，虽然一般式解题较麻烦，但在考试中，如果不会，就用一般式写，尽量把能写出来的都写出来，数学给的是过程分，另外，二次函数的学习，要综合二次函数、一元二次不等式、一元二次方程，刚开始学习，要背一些必要地公式：顶点、对称轴，不要着急，祝你学习成功！O（∩_∩）O~。

3.【初三二次函数主要知识点】

初三数学 二次函数 知识点总结一、二次函数概念：1.二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数. 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零.二次函数的定义域是全体实数.2. 二次函数的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2. ⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项.二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 的符号\x09开口方向\x09顶点坐标\x09对称轴\x09性质\x09向上\x09\x09轴\x09时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值.\x09向下\x09\x09轴\x09时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值.2. 的性质：上加下减.的符号\x09开口方向\x09顶点坐标\x09对称轴\x09性质\x09向上\x09\x09轴\x09时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值.\x09向下\x09\x09轴\x09时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值.3. 的性质： 左加右减.的符号\x09开口方向\x09顶点坐标\x09对称轴\x09性质\x09向上\x09\x09X=h\x09时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值.\x09向下\x09\x09X=h\x09时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值.4. 的性质：的符号\x09开口方向\x09顶点坐标\x09对称轴\x09性质\x09向上\x09\x09X=h\x09时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值.\x09向下\x09\x09X=h\x09时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值.三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”.概括成八个字“左加右减，上加下减”. 方法二：⑴沿轴平移：向上（下）平移个单位，变成（或）⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）四、二次函数与的比较 从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中.五、二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. 六、二次函数的性质 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为.当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值. 2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为.当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值.七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：（，为常数，）； 2. 顶点式：（，为常数，）； 3. 两根式：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 二次函数中，作为二次项系数，显然. ⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； ⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大. 总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小. 2. 一次项系数 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在的前提下， 当时，即抛物线的对称轴在轴左侧； 当时，即抛物线的对称轴就是轴； 当时，即抛物线对称轴在轴的右侧. ⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即 当时，即抛物线的对称轴在轴右侧； 当时，即抛物线的对称轴就是轴； 当时，即抛物线对称轴在轴的左侧. 总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置. 的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”总结： 3. 常数项 ⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； ⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负. 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置. 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况： 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式. 九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点。

4.谁知道九年级二次函数的所有知识点

初三数学 二次函数 知识点总结一、二次函数概念：1.二次函数的概念：一般地，形如 （ 是常数， ）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 ，而 可以为零.二次函数的定义域是全体实数.2. 二次函数 的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式， 的最高次数是2.⑵ 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项.二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式： 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 .向下轴时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 .2. 的性质：上加下减。

的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 .向下轴时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 .3. 的性质：左加右减。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 .向下X=h时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 .4. 的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 .向下X=h时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 .三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；⑵ 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”.概括成八个字“左加右减，上加下减”. 方法二：⑴ 沿 轴平移：向上（下）平移 个单位， 变成（或 ）⑵ 沿轴平移：向左（右）平移 个单位， 变成 （或 ）四、二次函数 与 的比较从解析式上看， 与 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 ，其中 .五、二次函数 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 化为顶点式 ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 轴的交点 、以及 关于对称轴对称的点 、与 轴的交点 ， （若与 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点.六、二次函数 的性质 1. 当 时，抛物线开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为 .当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大；当 时， 有最小值 . 2. 当 时，抛物线开口向下，对称轴为 ，顶点坐标为 .当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小；当 时， 有最大值 .七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： （ ， ， 为常数， ）；2. 顶点式： （ ， ， 为常数， ）；3. 两根式： （ ， ， 是抛物线与 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 二次函数 中， 作为二次项系数，显然 . ⑴ 当 时，抛物线开口向上， 的值越大，开口越小，反之 的值越小，开口越大； ⑵ 当 时，抛物线开口向下， 的值越小，开口越小，反之 的值越大，开口越大.总结起来， 决定了抛物线开口的大小和方向， 的正负决定开口方向， 的大小决定开口的大小.2. 一次项系数 在二次项系数 确定的前提下， 决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在 的前提下，当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴左侧；当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴；当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的右侧.⑵ 在 的前提下，结论刚好与上述相反，即当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴右侧；当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴；当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的左侧.总结起来，在 确定的前提下， 决定了抛物线对称轴的位置.的符号的判定：对称轴 在 轴左边则 ，在 轴的右侧则 ，概括的说就是“左同右异”总结： 3. 常数项 ⑴ 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴上方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当 时，抛物线与 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 轴交点的纵坐标为 ； ⑶ 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴下方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为负. 总结起来， 决定了抛物线与 轴交点的位置. 总之，只要 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于 轴对称 关于 轴对称后，得到的解析式是 。

5.初中九年级二次函数知识点总结

二次函数 I.定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.) 则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 II.二次函数的三种表达式 一般式：y=ax^2;+bx+c(a,b,c为常数，a≠0) 顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P(h,k)] 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1,0)和 B(x2,0)的抛物线] 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系： h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a III.二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像， 可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0） 2.抛物线有一个顶点P，坐标为 P [ -b/2a ,(4ac-b^2;)/4a ]。

当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时，抛物线向上开口；当a|a|越大，则抛物线的开口越小。 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于（0,c） 6.抛物线与x轴交点个数 Δ= b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 Δ= b^2-4acV.二次函数与一元二次方程 特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2;+bx+c， 当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）， 即ax^2;+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 答案补充 画抛物线y=ax2时，应先列表，再描点，最后连线。

列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。 二次函数解析式的几种形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0). (2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0). (3)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a≠0. 说明：（1）任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是（h,k）,h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上；当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点 答案补充 如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax^2；如果对称轴是y轴，但不过原点，则设y=ax^2+k 定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax^2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。

IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大。) 则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 x是自变量，y是x的函数 二次函数的三种表达式 ①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0) ②顶点式[抛物线的顶点 P(h,k) ]:y=a(x-h)^2+k ③交点式[仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2) 以上3种形式可进行如下转化： ①一般式和顶点式的关系 对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为（-b/2a,(4ac-b^2)/4a），即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b^2)/4a ②一般式和交点式的关系 x1,x2=[-b±√（b^2-4ac）]/2a（即一元二次方程求根公式）。

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