线代第五章知识点总结

1.线性代数怎么复习

概念多、定理多、符号多、运算规律多、内容相互纵横交错,知识前后紧密联系是线性代数课程的特点,故考生应充分理解概念,掌握定理的条件、结论、应用,熟悉符号意义,掌握各种运算规律、计算方法,并及时进行总结,抓联系,使学知识能融会贯通,举一反三,根据考试大纲的要求,这里再具体指出如下:行列式的重点是计算,利用性质熟练准确的计算出行列式的值。

矩阵中除可逆阵、伴随阵、分块阵、初等阵等重要概念外,主要也是运算,其运算分两个层次,一是矩阵的符号运算,二是具体矩阵的数值运算。例如在解矩阵方程中,首先进行矩阵的符号运算,将矩阵方程化简,然后再代入数值,算出具体的结果,矩阵的求逆(包括简单的分块阵)(或抽象的,或具体的,或用定义,或是用公式A -1= 1 A*,或 A用初等行变换),A和A*的关系,矩阵乘积的行列式,方阵的幂等也是常考的内容之一。

关于向量,证明(或判别)向量组的线性相关(无关),线性表出等问题的关键在于深刻理解线性相关(无关)的概念及几个相关定理的掌握,并要注意推证过程中逻辑的正确性及反证法的使用。 向量组的极大无关组,等价向量组,向量组及矩阵的秩的概念,以及它们相互关系也是重点内容之一。

用初等行变换是求向量组的极大无关组及向量组和矩阵秩的有效方法。 在Rn中,基、坐标、基变换公式,坐标变换公式,过渡矩阵,线性无关向量组的标准正交化公式,应该概念清楚,计算熟练,当然在计算中列出关系式后,应先化简,后代入具体的数值进行计算。

行列式、矩阵、向量、方程组是线性代数的基本内容,它们不是孤立隔裂的,而是相互渗透,紧密联系的,例如∣A∣≠0〈===〉A是可逆阵〈===〉r(A)=n(满秩阵)〈===〉A的列(行)向量组线性无关〈===〉AX=0唯一零解〈===〉AX=b对任何b均有(唯一)解〈===〉A=P1 P2 …PN,其中PI(I=1,2,…,N)是初等阵〈===〉r(AB)=r(B)<===>A初等行变换 I〈===〉A的列(行)向量组是Rn的一个基〈===〉A可以是某两个基之间的过渡矩阵等等。这种相互之间的联系综合命题创造了条件,故对考生而言,应该认真总结,开拓思路,善于分析,富于联想使得对综合的,有较多弯道的试题也能顺利地到达彼岸。

关于特征值、特征向量。一是要会求特征值、特征向量,对具体给定的数值矩阵,一般用特征方程∣λE-A∣=0及(λE-A)ξ=0即可,抽象的由给定矩阵的特征值求其相关矩阵的特征值(的取值范围),可用定义Aξ=λξ,同时还应注意特征值和特征向量的性质及其应用,二是有关相似矩阵和相似对角化的问题,一般矩阵相似对角化的条件。

实对称矩阵的相似对角化及正交变换相似于对角阵,反过来,可由A 的特征值,特征向量来确不定期A的参数或确定A,如果A是实对称阵,利用不同特征值对应的特征向量相互正交,有时还可以由已知λ1的特征向量确定出λ2(λ2≠λ1)对应的特征向量,从而确定出A。三是相似对角化以后的应用,在线性代数中至少可用来计算行列式及An. 将二次型表示成矩阵形式,用矩阵的方法研究二次型的问题主要有两个:一是化二次型为标准形,这主要是正交变换法(这和实对称阵正交相似对角阵是一个问题的两种提法),在没有其他要求的情况下,用配方法得到标准形可能更方便些;二是二次型的正定性问题,对具体的数值二次型,一般可用顺序主子式是否全部大于零来判别,而抽象的由给定矩阵的正定性,证明相关矩阵的正定性时,可利用标准形,规范形,特征值等到证明,这时应熟悉二次型正定有关的充分条件和必要条件。

2.线性代数知识框架

你可以参照下面得纲要,线性代数 第一章:行列式 考试内容: 行列式的概念和基本性质 行列式按行(列)展开定理 考试要求: 1.了解行列式的概念,掌握行列式的性质. 2.会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式. 第二章:矩阵 考试内容: 矩阵的概念 矩阵的线性运算 矩阵的乘法 方阵的幂 方阵乘积的行列式 矩阵的转置 逆矩阵的概念和性质 矩阵可逆的充分必要条件 伴随矩阵 矩阵的初等变换 初等矩阵 矩阵的秩 矩阵等价 分块矩阵及其运算 考试要求: 1.理解矩阵的概念,了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质. 2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律,了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质. 3.理解逆矩阵的概念,掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件,理解伴随矩阵的概念,会用伴随矩阵求逆矩阵. 4.理解矩阵的初等变换的概念,了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念,理解矩阵的秩的概念,掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法. 5.了解分块矩阵及其运算. 第三章:向量 考试内容: 向量的概念 向量的线性组合和线性表示 向量组的线性相关与线性无关 向量组的极大线性无关组 等价向量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 向量空间以及相关概念 n维向量空间的基变换和坐标变换 过渡矩阵 向量的内积 线性无关向量组的正交规范化方法 规范正交基 正交矩阵及其性质 考试要求: 1.理解n维向量、向量的线性组合与线性表示的概念. 2.理解向量组线性相关、线性无关的概念,掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法. 3.理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念,会求向量组的极大线性无关组及秩. 4.理解向量组等价的概念,理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系 5.了解n维向星空间、子空间、基底、维数、坐标等概念. 6.了解基变换和坐标变换公式,会求过渡矩阵. 7.了解内积的概念,掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法. 8.了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质. 第四章:线性方程组 考试内容: 线性方程组的克莱姆(Cramer)法则 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 非齐次线性方程组有解的充分必要条件 线性方程组解的性质和解的结构 齐次线性方程组的基础解系和通解 解空间 非齐次线性方程组的通解 考试要求 l.会用克莱姆法则. 2.理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件. 3.理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念,掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法. 4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念. 5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法. 第五章:矩阵的特征值及特征向量 考试内容: 矩阵的特征值和特征向量的概念、性质 相似变换、相似矩阵的概念及性质 矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵 实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角矩阵 考试要求: 1.理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质,会求矩阵的特征值和特征向量. 2.理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件,掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法. 3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质. 第六章:二次型 考试内容: 二次型及其矩阵表示 合同变换与合同矩阵 二次型的秩 惯性定理 二次型的标准形和规范形 用正交变换和配方法化二次型为标准形 二次型及其矩阵的正定性 考试要求: 1.掌握二次型及其矩阵表示,了解二次型秩的概念,了解合同变化和合同矩阵的概念 了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理. 2.掌握用正交变换化二次型为标准形的方法,会用配方法化二次型为标准形. 3.理解正定二次型、正定矩阵的概念,并掌握其判别法 概率与统计 第一章:随机事件和概率 考试内容: 随机事件与样本空间 事件的关系与运算 完备事件组 概率的概念 概率的基本性质 古典型概率 几何型概率 条件概率 概率的基本公式 事件的独立性 独立重复试验 考试要求: 1.了解样本空间(基本事件空间)的概念,理解随机事件的概念,掌握事件的关系与运算. 2.理解概率、条件概率的概念,掌握概率的基本性质,会计算古典型概率和几何型概率,掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式,以及贝叶斯(Bayes)公式. 3.理解事件的独立性的概念,掌握用事件独立性进行概率计算;理解独立重复试验的概念,掌握计算有关事件概率的方法. 第二章:随机变量及其分布 考试内容: 随机变量 随机变量的分布函数的概念及其性质 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量函数的分布 考试要求: 1.理解随机变量的概念.理解分布函数 的概念及性质.会计算与随机变量相联系的事件的概率. 2.理解离散型随机变量及其概率分布的概念,掌握0-1分布、二项分布 、几何分布、超几何分布、泊松(Poisson)分布 及其应用. 3.了解泊松定理的结论和应用条件,会用泊松分布近似表示二项分布. 4.理解连续型随机变量及其概率密度的概念,掌握均匀分布 、正态分布 、指数分布 及其应用,其中参数为λ(λ>。

3.线性代数知识框架

你可以参照下面得纲要,线性代数 第一章:行列式 考试内容: 行列式的概念和基本性质 行列式按行(列)展开定理 考试要求: 1.了解行列式的概念,掌握行列式的性质. 2.会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式. 第二章:矩阵 考试内容: 矩阵的概念 矩阵的线性运算 矩阵的乘法 方阵的幂 方阵乘积的行列式 矩阵的转置 逆矩阵的概念和性质 矩阵可逆的充分必要条件 伴随矩阵 矩阵的初等变换 初等矩阵 矩阵的秩 矩阵等价 分块矩阵及其运算 考试要求: 1.理解矩阵的概念,了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质. 2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律,了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质. 3.理解逆矩阵的概念,掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件,理解伴随矩阵的概念,会用伴随矩阵求逆矩阵. 4.理解矩阵的初等变换的概念,了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念,理解矩阵的秩的概念,掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法. 5.了解分块矩阵及其运算. 第三章:向量 考试内容: 向量的概念 向量的线性组合和线性表示 向量组的线性相关与线性无关 向量组的极大线性无关组 等价向量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 向量空间以及相关概念 n维向量空间的基变换和坐标变换 过渡矩阵 向量的内积 线性无关向量组的正交规范化方法 规范正交基 正交矩阵及其性质 考试要求: 1.理解n维向量、向量的线性组合与线性表示的概念. 2.理解向量组线性相关、线性无关的概念,掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法. 3.理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念,会求向量组的极大线性无关组及秩. 4.理解向量组等价的概念,理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系 5.了解n维向星空间、子空间、基底、维数、坐标等概念. 6.了解基变换和坐标变换公式,会求过渡矩阵. 7.了解内积的概念,掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法. 8.了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质. 第四章:线性方程组 考试内容: 线性方程组的克莱姆(Cramer)法则 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 非齐次线性方程组有解的充分必要条件 线性方程组解的性质和解的结构 齐次线性方程组的基础解系和通解 解空间 非齐次线性方程组的通解 考试要求 l.会用克莱姆法则. 2.理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件. 3.理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念,掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法. 4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念. 5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法. 第五章:矩阵的特征值及特征向量 考试内容: 矩阵的特征值和特征向量的概念、性质 相似变换、相似矩阵的概念及性质 矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵 实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角矩阵 考试要求: 1.理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质,会求矩阵的特征值和特征向量. 2.理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件,掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法. 3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质. 第六章:二次型 考试内容: 二次型及其矩阵表示 合同变换与合同矩阵 二次型的秩 惯性定理 二次型的标准形和规范形 用正交变换和配方法化二次型为标准形 二次型及其矩阵的正定性 考试要求: 1.掌握二次型及其矩阵表示,了解二次型秩的概念,了解合同变化和合同矩阵的概念 了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理. 2.掌握用正交变换化二次型为标准形的方法,会用配方法化二次型为标准形. 3.理解正定二次型、正定矩阵的概念,并掌握其判别法 概率与统计 第一章:随机事件和概率 考试内容: 随机事件与样本空间 事件的关系与运算 完备事件组 概率的概念 概率的基本性质 古典型概率 几何型概率 条件概率 概率的基本公式 事件的独立性 独立重复试验 考试要求: 1.了解样本空间(基本事件空间)的概念,理解随机事件的概念,掌握事件的关系与运算. 2.理解概率、条件概率的概念,掌握概率的基本性质,会计算古典型概率和几何型概率,掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式,以及贝叶斯(Bayes)公式. 3.理解事件的独立性的概念,掌握用事件独立性进行概率计算;理解独立重复试验的概念,掌握计算有关事件概率的方法. 第二章:随机变量及其分布 考试内容: 随机变量 随机变量的分布函数的概念及其性质 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量函数的分布 考试要求: 1.理解随机变量的概念.理解分布函数 的概念及性质.会计算与随机变量相联系的事件的概率. 2.理解离散型随机变量及其概率分布的概念,掌握0-1分布、二项分布 、几何分布、超几何分布、泊松(Poisson)分布 及其应用. 3.了解泊松定理的结论和应用条件,会用泊松分布近似表示二项分布. 4.理解连续型随机变量及其概率密度的概念,掌握均匀分布 、正态分布 、指数分布 及其应用,其中参数为λ(λ>0)。

4.线性代数

线性代数总结 一、课程特点 特点一:知识点比较细碎。

如矩阵部分涉及到了各种类型的性质和关系,记忆量大而且容易混淆的地方较多。特点二:知识点间的联系性很强。

这种联系不仅仅是指在后面几章中用到前两章行列式和矩阵的相关知识,更重要的是在于不同章节中各种性质、定理、判定法则之间有着相互推导和前后印证的关系。复习线代时,要做到“融会贯通”。

“融会”——设法找到不同知识点之间的内在相通之处;“贯通”——掌握前后知识点之间的顺承关系。 二、行列式与矩阵 第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节,有必要熟练掌握。

行列式的核心内容是求行列式,包括具体行列式的计算和抽象行列式的计算,其中具体行列式的计算又有低阶和 阶两种类型;主要方法是应用行列式的性质及按行\列展开定理化为上下三角行列式求解。 对于抽象行列式的求值,考点不在求行列式,而在于 、、等的相关性质,及性质 (其中 为矩阵 的特征值)。

矩阵部分出题很灵活,频繁出现的知识点包括矩阵运算的运算规律、、、的性质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩的性质、初等矩阵的性质等。 三、向量与线性方程组 向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。

相比之下,行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节;后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立,可以看作是对核心内容的扩展。向量与线性方程组的内容联系很密切,很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。

复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系,因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解,同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。解线性方程组可以看作是出发点和目标。

线性方程组(一般式)还具有两种形式:(Ⅰ)矩阵形式 ,其中 , , (Ⅱ)向量形式 ,其中 , 向量就这样被引入了。1)齐次线性方程组与线性相关、无关的联系齐次线性方程组 可以直接看出一定有解,因为当 时等式一定成立;印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。

齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况:①有唯一零解;②有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时,是指等式 中的 只能全为0才能使等式成立,而当齐次线性方程组有非零解时,存在不全为0的 使上式成立;但向量部分中判断向量组 是否线性相关\无关的定义也正是由这个等式出发的。

故向量与线性方程组在此又产生了联系:齐次线性方程组 是否有非零解对应于系数矩阵 的列向量组是否线性相关。可以设想线性相关\无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的。

2)齐次线性方程组的解与秩和极大无关组的联系同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”,向量组 组成的矩阵 有 说明向量组的极大线性无关组中有 个向量,即 线性无关,也即等式 只有零解。

所以,经过 “秩 → 线性相关\无关 → 线性方程组解的判定” 的逻辑链条,由 就可以判定齐次方程组 只有零解。当 时, 的列向量组 线性相关,此时齐次线性方程组 有非零解,且齐次线性方程组 的解向量可以通过 个线性无关的解向量(基础解系)线性表示。

3)非齐次线性方程组与线性表示的联系非齐次线性方程组 是否有解对应于向量 是否可由 的列向量组 线性表示,即使等式 成立的一组数 就是非齐次线性方程组 的解。当非齐次线性方程组 满足 时,它有唯一解。

这一点也正好印证了一个重要定理:“若 线性无关,而 线性相关,则向量 可由向量组 线性表示,且表示方法唯一”。 性质1.对于方阵 有: 方阵 可逆ó ó 的行\列向量组均线性无关ó ó 可由克莱姆法则判断有唯一解, 而 仅有零解 对于一般矩阵 则有: ó 的列向量组线性无关 ó 仅有零解, 有唯一解(如果有解) 性质2.齐次线性方程组 是否有非零解对应于系数矩阵 的列向量组是否线性相关,而非齐次线性方程组 是否有解对应于 是否可以由 的列向量组线性表出。

以上两条性质可视为是将线性相关、行列式、秩、线性方程组几部分知识联系在一起的桥梁。 应记住的一些性质与结论 1.向量组线性相关的有关结论:1)向量组 线性相关ó向量组中至少存在一个向量可由其余 个向量线性表出。

2)向量组线性无关ó向量组中没有一个向量可由其余的向量线性表出。 3)若 线性无关,而 线性相关,则向量 可由向量组 线性表示,且表示法唯一。

2.向量组线性表示与等价的有关结论:1) 一个线性无关的向量组不可能由一个所含向量个数比它少的向量组线性表示。2) 如果向量组 可由向量组 线性表示,则有 3) 等价的向量组具有相同的秩,但不一定有相同个数的向量;4) 任何一个向量组都与它的极大线性无关组等价。

3.常见的线性无关组:1) 齐次线性方程组的一个基础解系;2) 、、这样的单位向量组; 3) 不同特征值对应的特征向量。4.关于秩的一些结论:1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5)若有 、满足 ,则 ; 6)若 是可逆矩阵则有 ; 7)若 可逆则有 ; 8) 。

4.线性方程组的解:1) 非齐次线性方程组 有唯一解则对应齐次方程组 仅有零解; 。

5.线性代数的一些基本知识

总的来说分为6个部分

行列式,矩阵,向量,线性方程组,矩阵的特征值和特征向量,二次型

线性代数整体感很强,每一章之间联系紧密,相互交织的考点很多,很容易就可以出线代的综合题,但是线代又相对高数和概率论最简单的,因为他的概念虽然多,但是并不难,所以学的人很容易就能学的好,运用好,对于学习方法的话,我认为还是主要以对于概念的理解要到位,尤其对秩的概念与运用,线性方程求解和特征向量特征矩阵这三个方面重点关注,因为这三个考点很容易和相似,合同和二次型一起出大题,所以要注意。

总的来说线代还是不难的,希望我的答案对你有帮助!

6.线性代数关键知识点

学好线代的最关键要点在于“见一反三”,即面对同一个数学事实,都要能够从线性方程组、向量和矩阵三个角度来表述和理解它,以便于根据解决问题的需要选择合适的切入点。现将一些个人觉得比较锻炼思维的习题汇总如下,相信通过对这些题目涉及的命题及其推理过程进行深入思考,会有助于更进一步把握好线代的知识体系。

1、任何一个向量α=(a1, a2, 。, an)都能由单位向量ε1=(1, 0, 。, 0)、ε2=(0, 1, 。, 0)、……、εn=(0, 0, 。, 1)线性表出,且表示方式唯一。

2、向量组α1,α2,…,αn中任一个向量αi可以由这个向量组线性表出。

3、判断下列说法正确性:(1)“向量组α1,α2,…,αn,如果有全为零的数k1, k2, 。, kn使得k1*α1+k2*α2+…+kn*αn=0,则α1,α2,…,αn线性无关。”(2)“如果有一组不全为零的数k1, k2, 。, kn,使得k1*α1+k2*α2+…+kn*αn≠0,则α1,α2,…,αn线性无关。”(3)“若向量组α1,α2,…,αn(n≥2)线性相关,则其中每一个向量都可以由其余向量线性表出。”

4、三维空间中的任意4个向量必线性相关。

5、n+1个n维向量必线性相关。

6、如果向量组α1,α2,α3线性无关,则向量组2α1+α2,α2+5α3,4α3+3α1也线性无关。

7、如果向量组α1,α2,α3,α4线性无关,判断向量组α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α1是否线性无关。

8、如果向量β可以由向量组α1,α2,…,αn线性表出,则表出方式唯一的充分必要条件是α1,α2,…,αn线性无关。

9、设向量组α1,α2,…,αn线性无关,β=k1*α1+k2*α2+…+kn*αn。如果对于某个ki≠0,则用β替换αi后得到的向量组α1,…,α(i-1),β,α(i+1),…,αn也线性无关。

10、由非零向量组成的向量组α1,α2,…,αn(n≥2)线性无关的充分必要条件是每一个αi(1

线代第五章知识点总结

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大学物理第5版下册知识点总结

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人教版初二英语下第二单元知识点总结

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苏教版语文六上第三单元知识点总结

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外研版三年级下册重点语法知识点总结

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高中数学会考必考知识点总结

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七年级语文苏教版知识点总结归纳

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小学科学3一6年级知识总结

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