垂线与平行线知识总结

1.【人教版七年级数学上知识点归纳第八章(本书第一章)相交线与平行

七年级数学(下)期末复习知识点整理 5.1相交线 1、邻补角与对顶角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角,它们的概念及性质如下表: \7图形 \7顶点 \7边的关系 \7大小关系 \7 \7对顶角 \7 ∠1与∠2 \7有公共顶点 \7∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 \7对顶角相等 即∠1=∠2 \7 \7邻补角 \7 ∠3与∠4 \7有公共顶点 \7∠3与∠4有一条边公共,另一边互为反向延长线. \7∠3+∠4=180° \7 \7注意点:⑴对顶角是成对出现的,对顶角是具有特殊位置关系的两个角; ⑵如果∠α与∠β是对顶角,那么一定有∠α=∠β;反之如果∠α=∠β,那么∠α与∠β不一定是对顶角 ⑶如果∠α与∠β互为邻补角,则一定有∠α+∠β=180°;反之如果∠α+∠β=180°,则∠α与∠β不一定是邻补角. ⑶两直线相交形成的四个角中,每一个角的邻补角有两个,而对顶角只有一个. 2、垂线 ⑴定义,当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足. 符号语言记作: 如图所示:AB⊥CD,垂足为O ⑵垂线性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记) ⑶垂线性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简称:垂线段最短. 3、垂线的画法: ⑴过直线上一点画已知直线的垂线;⑵过直线外一点画已知直线的垂线. 注意:①画一条线段或射线的垂线,就是画它们所在直线的垂线;②过一点作线段的垂线,垂足可在线段上,也可以在线段的延长线上. 画法:⑴一靠:用三角尺一条直角边靠在已知直线上,⑵二移:移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上,⑶三画:沿着这条直角边画线,不要画成给人的印象是线段的线. 4、点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离 记得时候应该结合图形进行记忆. 如图,PO⊥AB,同P到直线AB的距离是PO的长.PO是垂线段.PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条. 现实生活中开沟引水,牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用. 5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念 分析它们的联系与区别 ⑴垂线与垂线段 区别:垂线是一条直线,不可度量长度;垂线段是一条线段,可以度量长度. 联系:具有垂直于已知直线的共同特征.(垂直的性质) ⑵两点间距离与点到直线的距离 区别:两点间的距离是点与点之间,点到直线的距离是点与直线之间. 联系:都是线段的长度;点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离. ⑶线段与距离 距离是线段的长度,是一个量;线段是一种图形,它们之间不能等同. 5.2平行线 1、平行线的概念: 在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,直线与直线互相平行,记作‖. 2、两条直线的位置关系 在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:⑴相交;⑵平行. 因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时,就可以肯定它们平行;反过来也一样(这里,我们把重合的两直线看成一条直线) 判断同一平面内两直线的位置关系时,可以根据它们的公共点的个数来确定: ①有且只有一个公共点,两直线相交; ②无公共点,则两直线平行; ③两个或两个以上公共点,则两直线重合(因为两点确定一条直线) 3、平行公理――平行线的存在性与惟一性 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 4、平行公理的推论: 如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行 如左图所示,∵‖,‖ ∴‖ 注意符号语言书写,前提条件是两直线都平行于第三条直线,才会结论,这两条直线都平行. 5、三线八角 两条直线被第三条直线所截形成八个角,它们构成了同位角、内错角与同旁内角. 如图,直线被直线所截 ①∠1与∠5在截线的同侧,同在被截直线的上方, 叫做同位角(位置相同) ②∠5与∠3在截线的两旁(交错),在被截直线之间(内),叫做内错角(位置在内且交错) ③∠5与∠4在截线的同侧,在被截直线之间(内),叫做同旁内角. ④三线八角也可以成模型中看出.同位角是“A”型;内错角是“Z”型;同旁内角是“U”型. 6、如何判别三线八角 判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”,有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看,有时又需要把图形补全. 例如: 如图,判断下列各对角的位置关系:⑴∠1与∠2;⑵∠1与∠7;⑶∠1与∠BAD;⑷∠2与∠6;⑸∠5与∠8. 我们将各对角从图形中抽出来(或者说略去与有关角无关的线),得到下列各图. 如图所示,不难看出∠1与∠2是同旁内角;∠1与∠7是同位角;∠1与∠BAD是同旁内角;∠2与∠6是内错角;∠5与∠8对顶角. 注意:图中∠2与∠9,它们是同位角吗? 不是,因为∠2与∠9的各边分别在四条不同直线上,不是两直线被第三条直线所截而成. 7、两直线平行的判定方法 方法一 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行 简称:同位角相等,两直线平行 方法二 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行 简称:内错角相等,两直线平行 方法三 两条直。

2.请大家帮我总结 初一学习的平行线与相交线知识,谢谢

课标要求

①了解补角、余角、对顶角,知道等角的余角相等、等角的补角的相等、对顶角相等。

②了解垂线、垂线段等概念,了解垂线段最短的性质,体会点到直线距离的意义。

③知道过一点有且仅有一条直线垂直平已知直线。会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。

④了解线段垂直平分线及其性质。

⑤知道两直线平行同位角相等,进一步探索平行线的性质。

⑥知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线,会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线;

⑦体会两条平行线之间距离的意义,会度量两条平行线之间的距离。

3.人教版七年级数学上知识点归纳

七年级数学(下)期末复习知识点整理 5.1相交线 1、邻补角与对顶角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角,它们的概念及性质如下表: 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 ∠1与∠2 有公共顶点 ∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等 即∠1=∠2 邻补角 ∠3与∠4 有公共顶点 ∠3与∠4有一条边公共,另一边互为反向延长线。

∠3+∠4=180° 注意点:⑴对顶角是成对出现的,对顶角是具有特殊位置关系的两个角; ⑵如果∠α与∠β是对顶角,那么一定有∠α=∠β;反之如果∠α=∠β,那么∠α与∠β不一定是对顶角 ⑶如果∠α与∠β互为邻补角,则一定有∠α+∠β=180°;反之如果∠α+∠β=180°,则∠α与∠β不一定是邻补角。 ⑶两直线相交形成的四个角中,每一个角的邻补角有两个,而对顶角只有一个。

2、垂线 ⑴定义,当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。 符号语言记作: 如图所示:AB⊥CD,垂足为O ⑵垂线性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记) ⑶垂线性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。

简称:垂线段最短。 3、垂线的画法: ⑴过直线上一点画已知直线的垂线;⑵过直线外一点画已知直线的垂线。

注意:①画一条线段或射线的垂线,就是画它们所在直线的垂线;②过一点作线段的垂线,垂足可在线段上,也可以在线段的延长线上。 画法:⑴一靠:用三角尺一条直角边靠在已知直线上,⑵二移:移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上,⑶三画:沿着这条直角边画线,不要画成给人的印象是线段的线。

4、点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离 记得时候应该结合图形进行记忆。 如图,PO⊥AB,同P到直线AB的距离是PO的长。

PO是垂线段。PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条。

现实生活中开沟引水,牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。 5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念 分析它们的联系与区别 ⑴垂线与垂线段 区别:垂线是一条直线,不可度量长度;垂线段是一条线段,可以度量长度。

联系:具有垂直于已知直线的共同特征。(垂直的性质) ⑵两点间距离与点到直线的距离 区别:两点间的距离是点与点之间,点到直线的距离是点与直线之间。

联系:都是线段的长度;点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离。 ⑶线段与距离 距离是线段的长度,是一个量;线段是一种图形,它们之间不能等同。

5.2平行线 1、平行线的概念: 在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,直线与直线互相平行,记作‖。 2、两条直线的位置关系 在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:⑴相交;⑵平行。

因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时,就可以肯定它们平行;反过来也一样(这里,我们把重合的两直线看成一条直线) 判断同一平面内两直线的位置关系时,可以根据它们的公共点的个数来确定: ①有且只有一个公共点,两直线相交; ②无公共点,则两直线平行; ③两个或两个以上公共点,则两直线重合(因为两点确定一条直线) 3、平行公理――平行线的存在性与惟一性 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 4、平行公理的推论: 如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行 如左图所示,∵‖,‖ ∴‖ 注意符号语言书写,前提条件是两直线都平行于第三条直线,才会结论,这两条直线都平行。 5、三线八角 两条直线被第三条直线所截形成八个角,它们构成了同位角、内错角与同旁内角。

如图,直线被直线所截 ①∠1与∠5在截线的同侧,同在被截直线的上方, 叫做同位角(位置相同) ②∠5与∠3在截线的两旁(交错),在被截直线之间(内),叫做内错角(位置在内且交错) ③∠5与∠4在截线的同侧,在被截直线之间(内),叫做同旁内角。 ④三线八角也可以成模型中看出。

同位角是“A”型;内错角是“Z”型;同旁内角是“U”型。 6、如何判别三线八角 判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”,有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看,有时又需要把图形补全。

例如: 如图,判断下列各对角的位置关系:⑴∠1与∠2;⑵∠1与∠7;⑶∠1与∠BAD;⑷∠2与∠6;⑸∠5与∠8。 我们将各对角从图形中抽出来(或者说略去与有关角无关的线),得到下列各图。

如图所示,不难看出∠1与∠2是同旁内角;∠1与∠7是同位角;∠1与∠BAD是同旁内角;∠2与∠6是内错角;∠5与∠8对顶角。 注意:图中∠2与∠9,它们是同位角吗? 不是,因为∠2与∠9的各边分别在四条不同直线上,不是两直线被第三条直线所截而成。

7、两直线平行的判定方法 方法一 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行 简称:同位角相等,两直线平行 方法二 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行 简称:内错角相等,。

4.相交线与平行线的知识结构图

关于相关角的概念:对顶角、邻补角、同旁内角、内错角、同位角。

关于两线的概念:平行线、垂线、垂线段。

其它:点和点的距离。点到直线的距离、垂直、命题等。

2性质。

(1)对顶角的性质;

(2)垂线的性质(一)(二);

(3)平行公理及推论;

(4)平行线的判定公理、定理;

(5)平行线的性质公理、定理。

3画法。

(1)平行线的画法;

(2)垂线的画法。

4证明几种类型问题的主要依据。

(1)证明两条直线垂直的依据;

(2)证明两条直线平行的依据;

(3)证明两个角相等的依据。

以上由同学以小组为单位回忆,一个小组说一个问题的答案,其他同学给予补充。

三、辨认图形的训练

目的:概念不离图,图中识概念。

“F”型中的同位角。如图2-92。

“Z”字型中的内错角,如图2-93。

“U”字型中的同旁内角。如图2-94。

四、学好本章内容的要求

重要概念要做到“五会。”

(1)会表达:能正确地叙述概念的定义。

(2)会识图:能在较复杂的图形中识别出概念所反映的部分。

(3)会翻译:能结合图形把概念的定义翻译成符号语言。

(4)会画图:能画出概念所反映的几何图形,以及变式图形,会在图上标注字母或符号。

(5)会应用:能应用概念进行简单的判断、推理和计算。

五、典型题目练习

1已知:如图2-95。∠1+∠3=180°。CD⊥AD,CM平分∠DCE,求∠4的度数。

垂线与平行线知识总结

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